Тут можно было бы написать про результаты Вязовской, - филдсовской лауреатки 2022 - о всюду плотной упаковке в евклидовых пространствах размерности 8 и 24. А можно было про размерность 3: история с гипотезой Кеплера на мой взгляд достаточно иллюстративна, потому что точку в этой истории поставило использование прувера на основе теории типов (хоть и не гомотопической).
Но я напишу про более приземленные вещи, которые, вероятно, чуть менее известны. Про оригами и возможное будущее беспроводных технологий.
Оригами. В оригами есть метод дизайна моделей, который называется circle packing. Не уверен, кто придумал идею, и тем более термин, но за подробностями - прошу в книгу Роберта Лэнга Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art, где метод впервые был явно объяснен широкой аудитории.
Забавна предыстория: в Японии в 90-х стала популярна идея математического моделирования оригами - взамен творческому наитию, что породило такую активность как "жучьи войны". Оригамисты соревновались, кто сделает более забористых жучков-паучков с бОльшим числом конечностей. Полагаю, что circle packing был своего рода фольклором в Японии в то время. Лэнг дистанционно участвовал в японских жучьих войнах. В 00-х он окончательно переключился с оригами-как-хобби на оригами-как-профессию, и на английском объяснил суть метода в своей книге.
Суть такова. Желаемую финальную оригами-модель мы представляем себе в виде метрического дерева Г. Это сразу отсекает многие модели: например бегемот или автомобиль - это так себе граф. Но вот богомол, скорпион или паук - это графы. И вот допустим у нашего паука есть какая-нибудь хелицера длины a (= висячее ребро длины a). Тогда бумага, которая уйдет на эту хелицеру - это как минимум круг радиуса a на исходном листе.
[Суперфомальная формализация, которую вы не просили, но заслужили. Процесс складывания - это 1-липшицево отображение F:S-->M, где S - это исходный лист бумаги с римановой метрикой, а М - это итоговая модель - полиэдр в R^3 с внутренней метрикой. Очевидно, что метрика не увеличивается, потому что в оригами рвать бумагу нельзя. Если F(x)=y, а B_r(x) и B_r(y) - шары в S и M соответственно, то из липшицевости очевидно, что полный прообраз B_r(y) содержит B_r(x). Поскольку в метрическом дереве висячее ребро - это шар с центром в висячей вершине, получаем то, что написано в предыдущем абзаце.]
Итак, если у нашего планируемого паука есть конечности длин a1, a2,..., an, то нам на квадратном листе бумаги надо упихнуть попарно непересекающиеся круги радиусов a1, a2,..., an. И сделать при этом так, чтобы лист бумаги был как можно меньше. Ну или при фиксированном листе бумаги, чтобы круги были как можно больше - с сохранением пропорций. Вся бумага вне кругов скорее всего уйдет не в конечности, и мы обычно заинтересованы в том, чтобы ее было как можно меньше. Короче надо решить задачу оптимальной упаковки.
[Вообще-то именно упаковка кругов возникает только если наш паук Г - это граф-звезда. Для более сложных деревьев возникают не только круги, но еще и криволинейные полоски между кругами - как на картинке. Но это все равно хорошо формализуется через условие липшицевости, и возникает оптимизационная задача похожая на упаковку кругов. Задача NP-трудная - как и почти всё в оригами.
 |
| Упаковка кругов и реки между ними. |
Да и вообще, сама формализация оригами - дальше соображений липшицевости - уже вопрос, на мой взгляд, открытый. Демэйны - это такая пара геометров из MIT - много в этой области сделали, но их аксиоматика мне кажется плохо алгоритмизуемой. Не существует такой структуры данных как "оригами-модель" (если что, полиэдры в R^3 не учитывают накладывающиеся слои бумаги). В этом смысле оригами гораздо сложнее музыки, картинок и 3d-графики. Корректно определить тип Оригами и формально доказать какую-нибудь базовую теорему - это реально челлендж. Например, хорошая тестовая теорема: любую модель можно сложить, то есть непрерывно изотопировать из плоского листа.]
После оптимальной упаковки надо задизайнить саму модель - с учетом, что модель - это все же не совсем граф. Тут начинается уже разная жесткая геометрия, отчасти эвристическая. Частично все механизируется, см. например https://langorigami.com/article/treemaker/ Но это отдельная история.
 |
| Пример того, что выдает оригамерский софт. По этому грамотный оригамист вполне способен собрать модель, инструкция не нужна. |
Вайфай. Второй сюжет - он про фантазию, которая пока явно не применяется. Но, в принципе, наверное зря и наверное в будущем может.
Вряд ли открою страшную тайну, сказав, что не все, что называют цифровыми технологиями, реально цифровое. В мире по прежнему много чего завязано на аналоговых устройствах. Например, (почти) любая беспроводная связь. Биты по воздуху передаются не по принципу "есть сигнал/нет сигнала", а кодируются в непрерывных характеристиках волн. И вот при переводе из цифры в аналог и обратно возникает довольно любопытная геометрия.
Для финальных пользователей прогресс в беспроводных технологиях измеряется скоростью соединения. В цепочке gsm-3g-4g-5g-6g она растет прямо ощутимо. Достигается это, помимо улучшения передатчиков и приемников, увеличением окна частот, да и самой частоты. Тут все примерно понятно: чем больше частота, тем больше пакетов можно напихать в единицу времени, а чем больше окно - тем больше пакетов распихивается по частотам. Разрабатываемый 6g движется куда-то в сторону терагерцевого диапазона.
Все это в целом очень круто, но до бесконечности увеличивать частоту вряд ли получится. Поэтому надо параллельно думать об увеличении пространственной плотности пакетов. И тут, помимо возможности поплотнее запихивать пакеты в частотный диапазон, возникает такой замечательный сюжет как оптимизация сигнального созвездия.
Сигнальное созвездие https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигнальное_созвездие - это способ кодировать бинарный сигнал в аналоговом пространстве. Зафиксируем пока что частоту. Рассмотрим плоскость с полярными координатами (амплитуда, сдвиг фазы). На этой плоскости изображается сигнальное созвездие - это облако из 2^k точек, соответствующих битовым строчкам длины k. Если нам надо передать битовую строчку, то мы смотрим, какая точка (r,alpha) созвездия ей соответствует, генерируем сигнал амплитуды r со сдвигом alpha (и фиксированной частоты). Передаем его. Приемник получает сигнал с аналоговыми характеристиками (r',alpha'), находит ближайшую к нему точку сигнального созвездия - по Евклиду. И декодирует ее в битовую строчку.
И вот если вы посмотрите глазами геометра на примеры сигнальных созвездий, используемые в этих ваших интернетах (например, полистаете википедию), то увидите, насколько они все унылы и скучны. Там используются либо точки в вершинах правильного 2^k-угольника (т.е. одной амплитуды), либо точки в узлах декартовой квадратной сеточки.
 |
| Квадратурная амплитудная модуляция, спертая из википедиев |
Очевидно, что чем больше точек мы напихаем в сигнальное созвездие, тем больше битов мы можем передать в одной частоте. Но есть и минусы: при пересылке полученный сигнал (r',alpha') может не совпадать с посланным (r,alpha) из-за белого шума. Тогда при декодировании есть риск получить неправильную битовую строчку, и этот риск тем больше, чем более плотно мы напихали точек в созвездие. Ошибку можно детектировать на стороне получателя при помощи стандартной дискры - но не исправить. Если при передаче словили баг, то весь пакет просто пересылается заново. Поэтому геометрические ошибки - это для скорости передачи прямо вот совсем не круто.
В итоге у нас получается задача: напихать в созвездие точек побольше, но так, чтобы соседние на практике не путались. Мне кажется довольно странным, что никто в этом смысле не думал дальше квадратурной модуляции с созвездием-решеточкой.
Тут, казалось бы, делов-то.
- Провести кучу экспериментов для определения формы белого шума в каждой точке плоскости (как минимум мне не очевидно, будет ли это нормальное распределение в декартовых координатах или в полярных, да и эффекты больших/малых амплитуд тоже могут играть роль).
- На основании эллипсоидов нормальных распределений задать на плоскости риманову метрику.
- В этой метрике решить задачу оптимальной упаковки шаров.
- Для полученного сигнального созвездия подобрать линейное разрешающее дерево для диаграммы Вороного.
- Спаять это разрешающее дерево из демодуляторов.
- Пропихнуть это в качестве стандарта для 7G.
- Profit!
Можно сразу работать не с 2-мерным пространством, а с 3-хмерным, где третья координата - частота. И уплотнять шары сразу в трехмерном римановом многообразии, построенном из эмпирических соображений.
Сделал бы, да только вот не паял с начальной школы) Причем вот такое впечатление, что люди про нечто подобное и думали, и статьи писали, красивые картинки сигнальных созвездий гуглятся. Но широкого применения пока нет.
Комментариев нет:
Отправить комментарий