Время историй о собственной науке. Эта тема довольно аутсайдерская, я ее мало где рассказывал, да и публиковать особо не хотел, потому что там математического оригинального контента не очень много. Но неравнодушные люди меня в итоге допинали, так что публикация все же выходит в томе Трудов Стекловки, посвященном Новикову https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4415&option_lang=eng
Короче, рассказали, зачем гипотеза Пуанкаре материаловедам. Пока, правда, ни один надой с помощью этого не повышен, но возможно это вопрос времени. После того как какой-то калифорнийский управленец энергетическими проектами пытается использовать в менеджменте идеи про топологический анализ формальных понятий из моего препринта о мышах, - вообще уже ничему не удивляюсь. На любой текст найдется благодарный читатель, хотя возможно понявший из текста совсем не то, что имел в виду автор.
Как водится, начну с неочевидной затравки, не имеющей к теме практически никакого отношения. Вот есть одна из удивительнейших современных вещей - твистроника. Если сделать из двух слоев графена сэндвич и правильно прокрутить один лист относительно другого - на магический угол в 1.1° - то получится сверхпроводник. Температура нужна низкая, тут чудес не ждите. Но зато сверхпроводник-то получается чисто из углерода, охрененно же!
Почему нужен именно такой угол - сложна, я не осилил. В свое время порадовался, что один из авторов теоретической модели, которая предсказывает значение, наиболее близкое к экспериментально установленному магическому, - чувак, с которым мы вместе на олимпиадки ездили, обрётшийся в Гарварде. Ростов - сила! Но несмотря на близость культурного бэкграунда - я его модель все равно не понял. Одними муаровыми узорами и квазипериодическими функциями там дело не ограничивается, нужна какая-то злая квантовщина.
Но давайте отвлечемся от конкретного угла и посмотрим на пространство всех возможных сдвигов одного слоя графена относительно второго. Это пространство - естественно, окружность S^1. Но это не просто окружность всех углов от 0 до 2π. Это окружность длины 2π/12. Строго говоря - это такой орбифолд D_6\O(2)/D_6, где D_6 - это группа (точечных) симметрий графена, она же группа шестиугольного диэдра. Потому что если один из слоев графена в сэндвиче повернуть на 60° или, там, отразить, то ни графен, ни сэндвич от этого, конечно, не поменяются.
------------------------
Если уйти в область абстрактного, то можно сформулировать такой сеттинг. Пусть есть достаточно интересная категория (например, группоид Ли) и даны два объекта X,Y в ней. Пусть есть подмножество A в X (что бы это ни значило) и подмножество B в Y. Тогда множеством сдвигов, или взаимных положений, или разориентаций, B относительно A назовем двусторонний фактор
Mis(A,B) = G_A\Hom(X,Y)/G_B,
где G_A - множество симметрий A, рассматриваемое как подгруппа в Hom(X,X), а G_B⊂Hom(Y,Y) - множество симметрий B.
Игры с поворотом графена получаются как частный случай, когда категория ортогональных преобразований, X=Y=R^2, A=B="пчелиные соты".
Есть довольно контринтуитивный топологический пример, открытый в торической науке Бухштабером и Светланой Терзич. Если взять категорию комплексных пространств и унитарных преобразований, и взять X=Y=C^3, A=B="координатный флаг", то получится пространство, гомеоморфное сфере:
T^3\U(3)/T^3 ≅ S^4
Здесь T^3 - максимальный тор диагональных матриц в группе Ли U(3) - подгруппа симметрий координатного флага. Заметим, что односторонний фактор U(3)/T^3 - это пространство полных комплексных флагов Fl(C^3). Каковое замечание связывает этот нарратив с шизой про танцы квантово-хромодинамических пчёл, о которой я писал когда-то раньше https://ayzenberg-thoughts.blogspot.com/2022/05/22.html?m=0 Откуда упомянутая пчелиная шиза изначально и была выкопана на свет божий.
Когда я в нашем торическом разбирался, то конечно у меня возникла мысль, что должен быть вещественный аналог (Z_2)^3\O(3)/(Z_2)^3 ≅ S^3. Он действительно есть, но интересно, что процесс нехитрого гугления вывел меня первым делом на работы по материаловедению.
Эту странную штуку Mis(A,B) неиронично придумали материаловеды, но правда не в связи с графеном, а в связи с поликристаллическими материалами.
------------------------
Есть каменюка, состоящая из основного кристалла A с примесями кристалликов поменбше, возможно, той же структуры, что и основной кристалл, а может быть и другой (но предполагается что между собой примеси одинаковы, имеют кристаллическую решетку B). Эти примеси могут быть по разному ориентированы относительно основного кристалла. И довольно важной может оказаться дисперсия и расположение разориентаций - от этого зависят механические свойства материала.
Грубо говоря, представьте железобетон (я в курсе, что бетон это не кристалл, давайте притворимся, что мы этого не знаем). В бетон можно добавить железячек от балды, и тогда получится штука, относительно прочная по всем направлениям. А можно все проволочки ориентировать одинаково, и тогда по какому-то одному направлению будет прямо зашибись, а на излом по перпендикулярным направлением - такое себе. А если все проволочки ориентированы одинаково, но не "сонаправлены" со структурой бетона, то там еще какое-то третье поведение материала будет. Ну примерно как-то так.
Это распределение разориентаций - оно распределение на чем? Совершенно верно, - на пространстве всех потенциально возможных разворотов кристаллической решетки B относительно кристаллической решетки A. То есть это наш любимый дифференцируемый стек орбифолд топологическое пространство
Mis(A,B) = G_A\SO(3)/G_B,
где G_A - группа точечных симметрий основного кристалла A, а G_B - группа собственных точечных симметрий материала примесей.
Я специально ограничиваюсь только собственными вращениями, чтобы не плодить сущностей. Если стартовать с O(3), то компонента преобразований, обращающих ориентацию, съедается в факторе одной из групп G_A или G_B. Ну окей, иногда не съедается, но мы эти случаи замнём для ясности.
В целом, вполне возможно, что какие-то магические распределения на пространстве разориентаций для заданной пары веществ дают какие-то необычные свойства материалов, подобно тому как возникает сверхпроводимость в графене. Этакий Über Concrete из ребрендированного Вульфенштайна. Сверхпроводящий сверхбетон для сверхлюдей.
------------------------
Но однако же, каково оно, то пространство, на котором рассматриваются распределения? Вот это и есть задача.
Количество возможных пространств разориентаций, к счастью, получается осмысленное. Во-первых, заметим, что вообще конечные подгруппы в SO(3) классифицированы. Это (с точностью до сопряжения) - циклические подгруппы C_n, порожденные поворотами вокруг оси на угол 2π/n, группы диэдра D_n, группа тетраэдра T, октаэдра O и икосаэдра I. Из них в качестве (собственных точечных) кристаллографических групп возникают только C_n, D_n при n=2,3,4,6, а также T и O. И еще тривиальная, всего 11 штук. Всяких квазикристаллов у нас нет, веществ с симметриями пятиугольника или икосаэдра не бывыает.
Заметив, что Mis(G1,G2) естественным образом гомеоморфно Mis(G2,G1), получаем, что всего в кристаллографии возникает 11(11+1)/2=66 пространств разориентаций, полное описание которых хорошо бы иметь на уровне справочной информации.
Как явно описать пространство в каждом из 66 случаев? Кристаллографы подходят к подобным задачам как-то так: если надо описать факторпространство многообразия SO(3) по какому-то действию конечной группы, то поднимают всё на сферу кватернионов, угадывают сферически выпуклую фундаментальную область действия соответствующего бинарного расширения группы, и описывают, какие точки отождествляются на границе фундаментальной области. Это, с одной стороны, дает явное координатное представление факторпространства, с другой стороны требует мозолистых кристаллографических мозгов, заточенных на перемножение кучи матриц из синусов и косинусов и решение неравенств.
В каждом конкретном случае это творческая задача, оно вообще не автоматизируется. Да и к тому же конкретную топологию пространства из этого трудно извлечь. Ну вот получили вы, допустим, трехмерный куб, и поняли, что его противоположные грани надо склеить, но не параллельно, как в случае 3-тора, а с прокруткой на 90 градусов. Что за многообразие получится? Да хрен его знает. Мне кажется, что в этом случае многообразие полных флагов в R^3, но я не уверен на 100%.
Поэтому кристаллографы задачу полного описания всех пространств разориентаций не осилили. Вместо этого они описали все гомофазные* пространства разориентаций (*запрещены на территории РФ). Это когда обе решетки одинаковы G1=G2=G, и пространство Mis(G,G) дополнительно факторизуется по отношению эквивалентности [g]~[g^{-1}]. То есть мы не знаем, какой кристалл первый (основной), а какой второй (вкрапления). На мой взгляд, это какая-то странная вещь, - но почему бы и нет. Их получается 11 штук, кристаллографы их топологию полностью описали, как выяснилось, даже правильно (меня пугает, когда делаются выводы из кучи перемноженных матричек и инженерных картинок, поэтому мы перепроверили).
------------------------
Мы с Митей решили взять инициативу в свои руки и ударить красным клином маломерной топологии по (гетерофазным) пространствам разориентаций.
Во-первых, Mis(G1,G2) - это фактор 3-мерной сферы по действию (возможно несвободному) конечной группы, сохраняющему ориентацию. А значит, это ориентируемый 3-мерный эллиптический орбифолд. Его подлежащее топологическое пространство - ориентированное замкнутое топологическое 3-многообразие. Его фундаментальную группу можно вычислить по теореме Армстронга. Это красивая и не очень сложная теорема, позволяющая считать фундаментальные группы факторов несвободных действий. Дальше можно бахнуть гипотезу эллиптизации, доказанную Перельманом, которая, грубо говоря, утверждает, что если у 3-мерного многообразия конечная фундаментальная группа - то оно почти всегда однозначно определяется этой группой - за исключением циклической группы - ей могут соответствовать негомеоморфные линзовые пространства, но ничего больше.
Таким образом нехитрой ссылкой на гипотезу эллиптизации можно описать топологический тип всех пространств разориентаций, это ли не прекрасно.
------------------------
Интересно, что если у обоих кристаллов достаточно богатая группа симметрий, то получается односвязное пространство разориентаций, то есть сфера, согласно гипотезе Пуанкаре.
------------------------
В нашей таблице не включена в рассмотрение тривиальная группа - потому что если один из кристаллов не имеет симметрий, то Mis(1,G2) это просто односторонний фактор SO(3)/G2 по свободному действию, то есть гладкое многообразие - не очень интересно. Зато мы включили в таблицу группу икосаэдра. Кристаллов с такой группой симметрий не бывает, но тополог, который пишет про 3-мерные орбифолды и НЕ упоминает группу икосаэдра и сферу Пуанкаре, - покрывает позором свой род до 235-го колена. Поэтому ее там не может не быть.
В конце концов, это довольно любопытно, что пространство взаимных положений одного икосаэдра относительно другого икосаэдра - это обычная тупая сфера.
Тут осталась задача, которой я грузил студентов на ФКН, - даже были продвижения, но до конца мы не довели.
У 3-мерных орбифолдов помимо топологии подлежащего топологического пространства есть еще страт орбифолдных особенностей. Это трехвалентный граф, реберно покрашенный в натуральные числа, и как-то - возможно заузленно - вложенный в орбифолд. Хорошо бы эти графы тоже описать для всех 66 (вернее, 55, если исключить тривиальную группу, где особенностей просто нет) пространств разориентаций.
Это можно сделать либо закопавшись в маломерные топологические статьи, потому что в них все это почти наверное есть, - просто в неудобной для нас форме. Но это скучный отстой. Либо попытаться хоть как-то автоматизировать. Полностью автоматизировать процесс нам пока не удалось.
Комментариев нет:
Отправить комментарий