Теорема Хорна-Шура утверждает, что множество диагоналей всевозможных (n+1)x(n+1)-матриц с фиксированными попарно различными собственными значениями, например, 0,1,2,...,n, является n-мерным пермутоэдром. Т.е. выпуклым многогранником, вершины которого - точки (σ(0),...,σ(n)), для всевозможных перестановок σ(n+1)-элементного множества собственных значений.
Каждому графу Г на n+1 вершине можно сопоставить множество М(Г) симметричных матриц, у которых на позиции i,j стоит ноль, если (i,j) не является ребром графа Г. Иллюстрации в предыдущей заметке. Если граф - простой путь, то получается множество трехдиагональных матриц. Если граф - звезда, то получается множество симметричных матриц, у которых ненулевые числа допускаются только на диагонали, первой строке и первом столбце. Для произвольного графа Г можно задаться вопросом, как выглядит множество диагоналей матриц из М(Г), имеющих фиксированные собственные значения 0,1,...,n. Это и есть вотэтазадача 56. Очевидно, что это какое-то подмножество пермутоэдра.
Скрафтил, как выглядит ответ в случае n=3 для графа пути и звездочки на 4-х вершинах. Для звездочки, т.е. матриц 4х4 с диагональю, первой строкой и первым столбцом, получается браслет из 6 кубиков. Для него сделал кусудаму, получилось массивно и приятно на ощупь, но без клея все-таки не держится. Альтернативная моделька - с зеленым контуром объемлющего пермутоэдра.
А с трехдиагональными матрицами тоже любопытно. Известно (Томеи), что множество трехдиагональных симметричных матриц с заданным спектром и неотрицательными числами вне диагонали само изоморфно пермутоэдру как многообразие с углами. Если взять у этих матриц диагональ, получаем отображение одного пермутоэдра в другой. Отображение задает биекцию вершин, но сам пермутоэдр при этом адово колбасит. В итоге вторая моделька (с синим контуром) - это на самом деле пермутоэдр в пермутоэдре, только с кучей перекруток и самопересечений.
Комментариев нет:
Отправить комментарий