Есть одна забавная, хотя и довольно специальная история. Я задумался над ней и понял, что в голове она все же не до конца укладывается.
Можно рассмотреть пространство M(λ) эрмитовых матриц размера n с заданными попарно различными собственными значениями λ1<λ2<...<λn. Это такое подмногообразие в пространстве всех матриц, оно имеет вещественную размерность 2d, где d=n(n-1)/2 (если бы речь шла про симметричные вещественные матрицы, то размерность была бы d, поэтому такое странное обозначение). На пространстве всех матриц можно ввести какую-нибудь евклидову метрику, и относительно этой метрики померить 2d-мерный риманов объем многообразия M(λ).
Неким занудным матанским вычислением (которое можно найти в https://arxiv.org/abs/1509.00537 ) можно показать, что такой евклидов объем изоспектрального многообразия пропорционален квадрату многочлена Вандермонда П(λi-λj)^2, где произведение по всем парам i>j. Это, кстати, довольно полезное наблюдение, если вы хотите посчитать плотность спектра гауссова унитарного ансамбля https://en.wikipedia.org/wiki/Random_matrix#Gaussian_ensembles - ну и дальше доказать какой-нибудь полукруговой закон Вигнера, например.
О том, что в объеме возникает многочлен Вандермонда, можно догадаться, если вы решали мой экзамен по торической топологии в НМУ https://ium.mccme.ru/f16/toric_topology.html Там идея такая: можно заметить, что M(λ) диффеоморфно многообразию полных флагов в C^n, и мы будем работать именно с многообразием полных флагов. Оно кэлерово, значит его риманов объем совпадает с симплектическим. А симплектический объем - это когомологическая шляпа, его можно посчитать по формуле эквивариантной локализации Атьи-Ботта-Берлин-Вернь (в ее симплектической версии). Ну это, конечно, явно руками его трудно посчитать, но можно заметить, что из формулы локализации получается кососимметрический многочлен от переменных λ1,...,λn степени d. А он такой только один - многочлен Вандермонда П(λi-λj), с точностью до мультипликативной константы.
Кстати, кольцо когомологий многообразия полных флагов можно легко извлечь из многочлена Вандермонда через двойственность Маколея - но правда, это если знать, что когомологии флагов порождены элементами степени 2. Сейчас довольно популярная деятельность - вытащить того же Вандермонда и структурные константы когомологий флагов через объем многогранника Гельфанда-Цетлина. Этот многогранник - тело Ньютона-Окунькова для многообразия флагов, поэтому в целом неудивительно, что степень (симплектический объем) многообразия флагов должна совпадать с евклидовым объемом многогранника. Мне, правда, такой подход кажется несколько противоестественным, потому что многогранник Гельфанда-Цетлина теряет перестановочные симметрии, которые есть у многообразия флагов. А вот всякие топологические штуки, типа ГКМ-теории, эти симметрии как раз хорошо видят. Ну да ладно, это меня уже несет в сторону гипотезы Стенли-Стембриджа, которая явно заслуживает отдельной истории.
Интересно и в некотором роде загадочно в написанном выше то, что объем многообразия изоспектральных матриц - это квадрат многочлена Вандермонда, а объем многообразия флагов - это просто многочлен Вандермонда. За этим стоит такая забавная интерпретация.
В общечеловеческом смысле λ имеет размерность длины, собственные значения меряются в метрах, очевидно же. Объем 2d-мерного многообразия M(λ) должен измеряться в метрах^{2d}, что согласуется со степенью квадрата Вандермонда.
С другой стороны, в симплектической истории про многообразие флагов числа λi - это сущности, живущие в кокасательной алгебре тора, действующего на многообразии. С помощью них меряется расстояние между неподвижными точками после отображения моментов. Но кокасательная алгебра отождествляется со вторыми(!) когомологиями. Поэтому сущности, там живущие, в том числе λi, ВНЕЗАПНО измеряются в квадратных метрах. Чтобы согласовать размерность, как это делают физики, надо брать просто многочлен Вандермонда.
Тут есть элементарный пример, о котором я как-то не задумывался, когда рассказывал, что Архимед был первым торическим геометром. Формула Дёйстермата-Хекмана говорит, что симплектическая мера на двумерной сфере пропорциональна евклидовой мере на ее оси вращения, - это версия формулы Архимеда для площади сферического пояса, которую (будем надеяться еще) изучают в школе. Однако в такой формулировке получается, что площадь поверхности сферы пропорциональна ее диаметру. Здравый смысл нам, однако же, говорит, что площадь сферы пропорциональна квадрату диаметра. Дело, вероятно, в мультипликативных константах, которые я везде прятал под ковер от греха подальше.
Ну то есть в итоге понятно, что риманова метрика на M(λ) отличается от римановой метрики на многообразии флагов. Но почему объем одного пропорционален квадрату объема другого - для меня загадка.