Мой комментарий из обсуждения про функциональные языки под постом о шейдерах, где я объясняю, почему двойственность Экмана-Хилтона не имеет отношения к каррингу в функциональных языках.
Двойственность Экмана-Хилтона не утверждает каких-то изоморфизмов (в отличие от более известных топологических двойственностей, кстати). Это, скорее, набор идей о том, что если написать определение какого-нибудь естественного гомотопического понятия на категорном языке, а потом перевернуть в нем все стрелки, то получится определение другого осмысленного топологического понятия. Потенциальная польза от этого в том, что если доказал некоторое гомотопическое утверждение, то можешь "бесплатно" получить двойственное утверждение про двойственные объекты. Хотя я не знаю исторических примеров, когда бы ровно вот так и работало. Я ниже напишу пример двойственных по Э-Х понятий и утверждений.
То есть это все не про изоморфизм объектов, а про соответствие между утверждениями. Гносеологически по сабжу это, кажется, больше похоже на соответствие Карри-Ховарда, упомянутое тут в комментарии ниже. Только Экман-Хилтон бьет из из гомотопической теории в себя же - вот такая странная симметрия есть в теории. Уместна аналогия с проективной геометрией: теоремы Дезарга и Паппа - это разные теоремы про разные объекты, но зная некий таинственный принцип проективной двойственности, можно считать их одной теоремой.
Примеры двойственных по Экману-Хилтону объектов и утверждений:
1) Когомологии <---> гомотопические группы;
2) Расслоения E-->B со слоем F <---> корасслоения A-->X (они же пары Борсука (X,A)) с кослоем X/A;
3) Точная последовательность когомологий пары
...-->H*(X)-->H*(A)-->H^{*+1}(X,A)-->H^{*+1}(X)-->...
соответствует по Э-Х точной последовательности гомотопических групп расслоения
...-->\pi_*(E)-->\pi_*(B)--\pi_{*-1}(F)-->\pi_{*-1}(E)-->...
То есть на самом деле это (внезапно) одна и та же точная последовательность. Хотя тут дьявол в деталях, конечно: в отличие от теорем Дезарга и Паппа, в гомотопической теории надо аккуратнее всё определять - проще доказывать точность обеих последовательностей независимо, чем ссылаться на волшебную двойственность.
4) Надстройка и петли, о которых ты пишешь - тоже сюда ложатся хорошо, вот пример:
"Надстройка сдвигает когомологии на +1 по градуировке"
<--->
"Петлевание сдвигает гомотопические группы на -1 по градуировке".
5) Пространства Мура (те, у которых когомологии сидят в одной градуировке) <---> пространства Эйленберга-Маклейна (те, у которых гомотопическая группа сидит в единственной градуировке).
6) Клеточный комплекс - это пространство, полученное как последовательность корасслоений, у которых все кослои (т.е. последовательные факторы) - это пространства Мура (букеты сфер, говоря по-простому).
<--->
Двойственный объект - это башня Постникова: последовательность расслоений, у которых каждый слой - это пространство Эйленберга-Маклейна.
7) Легко алгоритмически посчитать когомологии клеточного комплекса (на чем сидит TDA и иже с ним) <---> легко алгоритмически посчитать гомотопические группы башни Постникова (хз, может ли это где-то на практике пригодиться).
А вот гомотопические группы пространств Мура считать - это гроб. Когомологии пространств Эйленберга-Маклейна - тоже непросто. Хотя и проще, чем гомотопические группы сфер - тут есть некая асимметрия, которую я плохо понимаю, честно говоря. Сложности - как бы потому, что в утверждениях комбинируются объекты из разных полюсов теории.
Комментариев нет:
Отправить комментарий