Я знаю, тут некоторая часть подписчиков ради топологии. Вот вам забавный микросюжет.
Известно, что любая триангуляция сферы с g ручками (aka ориентированной поверхности рода g) имеет не меньше чем
n(g) = верхнее_целое_от(7+sqrt(48*g+1))/2
вершин. Это решение квадратного неравенства, сынок. Больше ничто в мире не выглядит так. Откуда берется квадратное неравенство можно по-простому узнать у Юнгермана-Рингеля http://archive.ymsc.tsinghua.edu.cn/pacm_download/117/6282-11511_2006_Article_BF02414187.pdf либо упороться и вывести из общей теоремы Новик-Шварца о цоколях алгебр Стенли-Райснера триангулированных многообразий. Второе - путь истинных самураев, о нем нигде не написано, но я рассказывал в Сириусе (запись первой лекции они эпично продолбали, вторая непосредственно про алгебру сохранилась https://www.youtube.com/watch?v=-B13DZT9BuY&list=PL6uiQuKj1IZrE1ArNcjOgqD3oXTP-xNrR&index=6 )
Вот эти чиселки получаются для сферы n(0)=4, для тора - n(1)=7, для кренделя - n(2)=9 и т.д. Это, конечно, связано с тем, что наибольший полный граф, который можно нарисовать без самопересечений на сфере - K_4, а на торе - K_7.
Основной результат Юнгермана-Рингеля все же о том, что эта оценка точна: для всех* ориентируемых поверхностей существует триангуляция с n(g) вершинами. А точнее - для всех, кроме кренделя. У кренделя нет 9-вершинной триангуляции, но есть 10-вершинная.
Почему крендель так выделяется среди поверхностей - вообще непонятно. Все доказательства несуществования 9-вершинной триангуляции кренделя - переборно компьютерные, концептуальных нет. Я, собственно, затевал курс про алгебры Стенли-Райснера потому что нашел концептуальное доказательство. Но участник нашей школы, Илья Толстухин, вначале нашел у меня дыру, потом нашел статью с еще одним алгебраическим доказательством, а потом нашел ошибку и там. Даже обобщенная g-гипотеза для многообразий (которую Адипрасито то ли доказал, то ли нет) тут вообще никак не помогает. Так что вопрос концептуального доказательства про крендель, как говорится, widely open.
А вы теперь знаете этот странный факт. Надеюсь, крендель займет почетное место на полке с группой перестановок S_6.
Комментариев нет:
Отправить комментарий