[закопировано из моего тг-канала]
Я вообще изначально тут грозился писать короткие месседжи со ссылками на ранее опубликованное. Текущий текст затевался именно в таком стиле, но потом все пошло не по плану, и получился длинный текст, как обычно.
Начнем с довольно известного и нехитрого микросюжета, почему-то в университетах слабо покрытого. Кончим открытой задачей из совсем (или нет?) другой области.
--------------------------------
Ряды, part 1.
C[[z]]. Вот есть формальные ряды ∑a_kz^k, где k целое неотрицательное. С ними (на неформальном уровне) все знакомятся в рамках стандартного курса матана, ибо ряды Тейлора как раз таковы. Формальные ряды образуют кольцо, но не поле. Ряд мультипликативно необратим, если a_0=0. Например, не существует формального ряда 1/(z^2-z^3)
C((z)). Если сформировать из кольца формальных рядов поле частных, то получатся ряды Лорана. Это выражения вида ∑a_kz^k, где суммирование разрешается начинать с произвольного целого числа, в том числе отрицательного. Например, в рядах Лорана 1/(z^2-z^3) - это ряд z^{-2}+z^{-1}+z^0+z^1+... (легко убедиться в осмысленности, просто перемножив два выражения).
Но мы все равно можем себе вообразить какие-то естественные сущности, которые даже рядами Лорана не представляются. Например, sqrt(z). Проверьте, что не бывает ряда Лорана, квадрат которого равен z. Это нехитрое наблюдение говорит нам, что поле рядов Лорана не является алгебраически замкнутым.
C((z^{1/k)). Что такое алгебраическое замыкание рядов Лорана? Неким волшебным образом, элементы такого абстрактного алгебраического замыкания тоже можно записывать в рядо-подобном виде. А именно, в виде рядов Пюизо. Ряд Пюизо - это сумма ∑a_qz^q, где q пробегает по рациональным числам, причем множество тех показателей q, для которых a_q не ноль, во-первых, имеет наименьший элемент, а во-вторых, имеет общий знаменатель.
Например, z^{1/2} - это валидный ряд Пюизо, просто по определению. А, например, квадратный корень из ряда (и формального, и Лорана, и Пюизо) z+z^2 - это ряд Пюизо z^{1/2}(1+z/2-z^2/8+...) = z^{1/2}+(1/2)z^{3/2}+(-1/8)z^{5/2}+.... В скобках стоит ряд Тейлора для sqrt(1+z), если что. Итак, магия в том, что ряды Пюизо (а) образуют поле, (б) образуют алгебраически замкнутое поле, (в) оно является алгебраическим замыканием поля рядов Лорана.
Наблюдение 1. Интересно, что в описанной процедуре "кольцо формальных рядов --> его поле частных --> его алгебраическое замыкание" показатели формальной переменной расширяются по естественной схеме "натуральные числа --> целые числа --> рациональные числа". По моему, забавно.
Наблюдение 2. Ряды Пюизо - это вполне конструктивная вещь в том смысле, что если у вас есть алгебраическое уравнение x^n+f_{n-1}x^{n-1}+...+f_0=0 в рядах Пюизо, и вы знаете достаточно много первых коэффициентов каждого ряда f_i, то вы можете найти сколько-то первых коэффициентов какого-то корня этого уравнения. Вольфрам в подобные вычисления может (и во многом его символьный движок на этом построен).
Собственно, у всех описанных рядов есть общая особенность: известно, где они начинаются. Для ряда f можно определить его валюацию v(f)=min{k|a_k не 0}, это младшая степень в выражении (и +∞, если ряд тождественно нулевой). Без понятия валюации, на мой взгляд, невозможно понять, каким образом тропическая геометрия проистекает из обычной алгебраической геометрии. Писал тут https://ayzenberg-thoughts.blogspot.com/2023/08/32.html . В некотором смысле, между тропической геометрией и обычной есть целая шкала "геометрий": мы просто можем принимать в обработку все больше и больше степеней и коэффициентов - насколько нам вычислительных мощей хватает. Собственно, с этой шкалой неиронично сталкиваются студенты, когда их просят посчитать, например, первые 4 члена формулы Тейлора какой-нибудь кракозябры.
---------------------------------
Ряды, part 2.
Но так-то можно заметить, что математики, когда пишут цепочку N⊂Z⊂Q, обычно не останавливаются на достигнутом, и зачем-то придумывают еще и вещественные числа. Зачем? Чтобы пополнить в смысле топологии.
Есть ли какой-то смысл в рядах с вещественными показателями степеней? Есть, и даже аж несколько.
На рядах Пюизо можно ввести ("адическую" ультра)метрику d(f,g)=exp(-v(f-g)). Два ряда тем ближе, чем больше у них общий префикс. Относительно такой метрики поле рядов Пюизо не полно.
Если пополнить по Коши, то получится поле рядов Леви-Чивиты. У них, правда, показатели по прежнему рациональные, однако, условие "все существенные показатели (при которых ненулевые коэффициенты) имеют общий знаменатель" ослабляется до условия "любой луч (-∞, t] содержит лишь конечное число существенных показателей". Ряды Леви-Чивиты - это алгебраически замкнутое поле (да еще и упорядоченное неархимедово!), и оно полно как метрическое пространство. "Само совершенство", казалось бы.
А вот нихрена. При изучении ультраметрических полей оказывается важной не полнота по Коши, а более хитрая штука, которая называется сферической полнотой. Именно она обеспечивает хорошесть поля для неархимедова функана. Поле рядов Леви-Чивиты - полное по Коши, но сферически не полное. А чтобы оно стало сферически полным, надо туда бахнуть вещественных показателей степеней. Так получаются ряды Хана. В них еще и условие на конечность существенных показателей в любом луче (-∞, t] ослабляется весьма хитрым образом. Короче, ряды Хана - довольно эзотеричная штука, я писать про них не хочу. Кто хочет сломать мозг на ночь глядя, - читайте сами на свой страх и риск.
Мне же достаточно понимания, что процедура пополнения Q до R отражается в более возвышенной процедуре сферического пополнения рядов Пюизо до рядов Хана, что прикольно.
--------------------------------
Ряды, part 3.
Однако разговор о рядах был бы не полон без упоминания рядов Новикова.
Можно вместо того, чтобы метафизически обосновывать необходимость расширения множества показателей, просто взять и рассмотреть ряды вида ∑a_rz^r, где r пробегает по вещественным числам, причем так, что множество существенных показателей содержит лишь конечное число элементов в любом луче (-∞, t]. Можем ведь. Эти ряды называются рядами Новикова, или, более строго, универсальными рядами Новикова. Они образуют поле, - ну, если коэффициенты рядов были из поля.
Зачем они нужны Новикову я напишу чуть ниже. Пока что комментарий. Ряды Новикова можно модифицировать двумя способами. (1) Рассматривать только неотрицательные вещественные показатели. (2) Показатели оставить произвольными вещественными, но в качестве коэффициентов брать Z. Удивительно, но в обоих случаях получается область главных идеалов.
--------------------------------
Ряды, part 4.
(1) Показатели вещественные неотрицательные.
Эта модификация по сути лежит в основе устойчивых гомологий и всевозможных приложений. Просто более-менее по определению модули устойчивости с непрерывным временем - это то же самое, что модули над таким кольцом (рядов или многочленов с неотрицательными вещественными показателями). Умножение элемента устойчивого модуля на z^t соответствует структурному сдвигу по времени на t. Соответственно, из того, что это кольцо - оги, следует, что модуль устойчивости распадается в сумму сами знаете чего (интервальных модулей).
В общем, конечно, это стрельба из пушки по воробьям, - ясно же, что разумные модули устойчивости с непрерывным временем можно свести к модулям устойчивости с дискретным временем, где конечная классификация - это классическая теорема о классификации модулей над кольцом многочленов от одной переменной (ну или формальных рядов, не важно). Но забавно, что пушка работает.
Магнитудные гомологии, туды их в качель, - это тоже модуль над таким странным кольцом. Тут, наверное, тоже приятно, что оно оги, хотя я глубоко не копал.
--------------------------------
Ряды, part 5.
(2) Показатели произвольные вещественные, а коэффициенты в Z.
Так оно было у самого Новикова https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=44681&option_lang=rus . В принципе, ключевой результат в теории Морса-Новикова имеет смысл и для поля, поэтому тут привязкой к Z можно особо не дорожить.
История такая. Есть теория Морса, которая говорит, что у любой замкнутого многообразия M и любой функции Морса f на нем, число особых точек функции f индекса j не меньше чем j-ое число Бетти β_j(M).
Новиков это неравенство обобщил на случай, когда вместо функции задана произвольная замкнутая 1-форма ω на M. Понятие особой точки и ее индекса для 1-формы определяется нехитро. А вот вместо чисел Бетти надо брать более любопытную штуку, которая называется числом Новикова (или Бетти-Новикова). Хотя эти числа определяются при помощи самой ω, доказано, что они от нее почти не зависят*.
*В этом "почти" есть некая тонкость, которую мы замнем под ковер.
--------------------------------
Ряды, part 6.
Числа Новикова.
Заметим, что 1-форма - это почти что функция. Можно зафиксировать какую-то точку a на M и сказать, что f_ω(x) = интеграл от ω по пути от a до x. Результат интегрирования по гомотопным путям всегда одинаковый (ибо форма замкнута). Но беда приходит, если пути интегрирования не гомотопны. Поэтому на самом деле мы получили многозначную функцию: она определена с точностью до прибавления элемента из Г, где Г - подгруппа R, порожденная интегралами формы ω по базисным 1-циклам. Если особо "повезет" с рациональной несоизмеримостью интегралов, то Г - может оказаться всюду плотным множеством.
Нам такие страшные многозначные функции не нравятся, мы их боимся. Поэтому, по заветам предков, перейдем к накрытию M' нашего многообразия, на котором функция будет однозначно определенной. Для удобства возьмем "наименьшее" такое накрытие - то которое соответствует подгруппе Ker ω: π_1(M) --> Г. Таким образом, у нас получается однозначная функция Морса f_ω на M'. Жахнем на нее обычную теорию Морса - с клетками, комплексом Морса, и всем таким прочим. Только помним, что M' некомпактное, поэтому морсовский комплекс C_*(M') - это что-то такое бесконечномерное, от его ранга самого по себе пользы мало.
Вспомним, что на накрытии M' есть группа монодромии Г, поэтому, на самом деле, C_*(M') - модуль над групповым кольцом K[Г]. Но даже как модуль над K[Г] он по прежнему бесконечно-ранговый. Элементы K[Г] - это конечные формальные комбинации элементов группы, то есть это как бы такие многочлены с показателями степеней из множества Г. Конечных комбинаций все еще не хватает, чтобы скушать бесконечность морсовских клеток.
Фокус в том, что если перейти к пополнению K^[Г], - то есть разрешить ряды вместо многочленов, - то мы автоматически убиваем двух зайцев: K^[Г] становится полем (подполем в универсальном поле Новикова), а морсовский комплекс C_*(M') становится конечномерным (!) векторным пространством над этим полем. Его гомологии, соответственно, тоже - конечномерные пространства, и их размерности над полем K^[Г] - как раз и называются числами Бетти-Новикова.
И тут те, кто еще не помер от внезапной смены дискурса, должны поинтересоваться: вот группа Г, она вроде как бесконечная в обе стороны. Почему нас спасло пополнение только вправо, но не влево? А ответ, как мне думается, в том, что используется асимметричность конструкции морсовских клеток: они же все растут вниз от критических точек, поэтому, в некотором смысле, про -∞ париться не нужно. Ну либо можно растить клетки вверх, тогда показатели степеней в рядах надо, наоборот, стремить к минус бесконечности (так оно в википедии написано). Возможно, в бухгалтерии все перепутали и должно быть ровно наоборот, - но суть представляется именно такой.
Коль скоро осознано всё написанное выше, неравенства "число особых точек формы ω индекса j не меньше чем j-ое число Бетти-Новикова" должны выглядеть не сложнее чем классические неравенства Морса.
В заключительной части я расскажу, какая есть клёвая исследовательская задача, связанная со всем этим вот. Но это я напишу позже.
---------------------------------
Не ряды, part 7. Обещанная задача, вернее даже направление для копания.
Те, кто со мной знаком дольше, чем существует этот канал, знают, что я считаю своим магнум опусом результат о классификации эквивариантно формальных матричных пространств. Про это имеется гримуар https://antonayzenberg.github.io/toric-diagonalization-slides.github.io/ (вот с озвучкой, ежели кому надо https://www.youtube.com/watch?v=RRycPAK716A)
Если вкратце, то среди всех форм разреженных матриц размера n самые простые - ступенчатые матрицы. Для них изоспектральное многообразие оказывается эквивариантно формальным (сумма чисел Бетти =n!), а для всех остальных матриц - не эквивариантно формальным (сумма чисел Бетти >n!). При этом на всех многообразиях ступенчатых матриц имеется динамическая система, у которой ровно n! особых точек, так называемый поток полной цепочки Тоды. Это морсовская система.
Есть, однако, офигенные многообразия периодических трехдиагональных матриц. Все, что я про них знаю, написано в https://arxiv.org/abs/1803.11433. Там много красоты возникает, на первый взгляд довольно разнородной: спектральная кривая уравнения Шрёдингера, пермутоэдрический паркет, софокусные параболы, минимальная симплициально клеточная триангуляция тора, а под капотом еще и несколько довольно злых спектралок и комбинаторики. В сухом остатке, доказано, что при n>3 эти многообразия не являются эквивариантно формальными.
На пространствах периодических трехдиагональных матриц, однако, есть другая замечательная динамическая система - поток периодической цепочки Тоды. Этот поток уже не морсовский - его траектории не скатываются в особые точки, а почти все плотно наматываются на торы Лиувилля-Арнольда.
Ну и не может же быть так, что такое хорошее и красивое многообразие - и не формально! Это огромная подстава со стороны мироздания. Наверное, мы просто неправильную эквивариантную формальность рассматриваем. А правильную, видимо, надо определяеть по Морсу-Новикову.
Гипотеза (на самом деле, готовый план исследований, - налетай, пока горячее).
1. Поток периодической цепочки Тоды на многообразии X_n изоспектральных периодических трехдиагональных эрмитовых матриц является системой Морса-Новикова.
2. Сумма чисел Бетти-Новикова многообразия X_n относительно этой системы равна n!.
3. Дать определение эквивариантно формального по Морсу-Новикову многообразия с действием тора и доказать, что X_n таково.
Тут, на самом деле, делов-то: доказать, что на X_n существует риманова метрика, поднятием индекса в которой поток Тоды превращается в замкнутую форму. Остальное, думается, вопрос формализма.
Pros, почему возможен успех. У многообразия X_n фундаментальная группа абелева. Поэтому кажется, что поле Новикова ее эффективно зохавает, и в огрызке останется нулевой дифференциал.
Contras, почему возможна неудача. Наверное, если бы всяк желающий мог превратить интегрируемую по Лиувиллю систему в поток Морса-Новикова, то все бы только этим и занимались. А я о таком не слышал. Вот.
Но если дело выгорит, то сразу понятно, что делать дальше. Надя Хорошавкина в дипломной работе https://www.hse.ru/ba/math/students/diplomas/641461138 полностью описала формы матриц, на которых существует аналог потока периодической цепочки Тоды. Они кодируются графами дуг окружности. Почему бы не доказать, что все эти многообразия эквивариантно формальны по Морсу-Новикову относительно своих обобщенных потоков Тоды.
Такие дела. В гримуаре, кстати, теория Морса-Новиков упоминается https://antonayzenberg.github.io/toric-diagonalization-slides.github.io/#/15/2
Комментариев нет:
Отправить комментарий