Есть один классный факт, который хорошо известен специалистам по коммутативной и гомологической алгебре, но ни в одной книге в явном виде мной не был встречен.
Рассмотрим алгебру A многочленов от n переменных. Будем считать, что она градуирована, с произвольными степенями порождающих. Рассмотрим произвольный идеал I этой алгебры, порожденный n однородными многочленами, и содержащий все компоненты алгебры достаточно большой степени. Иными словами, число порождающих идеала = числу порождающих алгебры, и фактор A/I есть конечномерное векторное пространство.
Тогда этот самый фактор A/I является алгеброй с двойственностью Пуанкаре, формальной степени d = (сумма степеней порождающих идеала минус сумма степеней порождающих алгебры). В частности dim(A/I)_k = dim (A/I)_{d-k}.
Мне кажется, что это весьма приятное следствие из науки про локальные когомологии и горенштейновость модулей и алгебр. Без использования этих вещей я не знаю, как такое доказывать.
Комментариев нет:
Отправить комментарий