(1) Теорема Нэша-Кёйпера, которую я, к своему стыду, до недавнего времени не знал. Теорема утверждает, что любое гладкое вложение риманова многообразия в R^n (не увеличивающее расстояния) можно сколь угодно точно приблизить С^1-гладким изометрическим вложением. В частности, отсюда следует, что двумерную поверхность с любой римановой метрикой можно с сохранением расстояний зажамкать в сколь угодно маленький 3-мерный шарик. Это выносит мозг. А еще можно изометрично засунуть плоский тор в R^3. Тут красивая визуализация. Видно, что несмотря на 1-гладкость, возникает какая-то фрактальщина.
(2) Я когда-то думал о такой задаче, хотя наверняка, я не первый. Склеим два одинаковых квадратных листа из нерастяжимого материала по границе. Насколько большой объем может ограничивать такая штука? Иными словами, насколько много пуха можно запихать в заданную наволочку? Задача кажется гробом. Если посмотреть на туго набитые подушки в отелях, то видно, что на краях подушки имеются вогнутые бороздки (см.фиг.1). Почти уверен, что в идеальной математической подушке эти крупные бороздки порождают перпендикулярные бороздки поменьше и так далее. Иначе нулевая кривизна наволочки потеряется. Короче, ощущение, что, даже если максимум в задаче про наволочку и достигается, то он достигается на какой-то фрактальной штуке, типа изометрично вложенного плоского тора из п.1.
Фиг.1
(3) Есть такая деятельность, как оригами с непрямыми складками (см.фиг.2-4). Очень эффектно и весьма нетривиально в исполнении (довольно долго продолбался с простейшей ерундовиной https://vk.com/photo3973145_116292676 и получилось кривовасто, фиг.5). А еще якобы используется при разработке обшивки для авианосцев. Но.
Фиг.2
Фиг.3
Фиг.4
Фиг.5
Кажется, что теоретически все эти штуки просто не существуют, по крайней мере в 2-гладкой категории. Каждый участок между складками представляет из себя поверхность нулевой кривизны, а значит соответствующий участок в исходном листе разбивается на отрезки прямых (интегральные траектории ядра второй квадратичной формы) - получается линейчатая структура. Немного подолбался с дифгемом второго курса, и у меня получилось, что линейчатая структура с одной и другой стороны от складки втыкается в линию складки под дополнительными углами. Иными словами излома траекторий на развернутом листе на месте складки происходить не должно (впрочем, в выкладках я вероятно налажал: буду благодарен, если кто-то это утверждение проверит). Если же вглядется в реальные модели оригами, то видно, что на различных участках линейчатые структуры могут быть не согласованы. Получается одно из трех. (а) Я таки налажал. (б) Мат. моделью для оригами с непрямыми складками является C^1-гладкая геометрия (траблы в вычислениях у меня пошли, когда начал работать с 2-ой кв.формой и кручением складок - объектами более-чем-первого порядка гладкости). (в) Нормальной мат.модели для такого оригами нет вообще - а существуют такие штуки исключительно благодаря деформируемости бумаги в малых масштабах. Бумага все стерпит. Пункт (в) все же сомнителен ввиду теоремы Нэша-Кёйпера. Если верно (б), то складки в таком оригами вполне могут быть фрактальным ужасом.
Комментариев нет:
Отправить комментарий