таксебемысль 12. Периодичность Ботта в детском саду.

Трава на этот раз длинная и специальная, но до определенного момента людям с общим математическим фоном должно быть понятно. Для людей со специальным математическим фоном спойлер: в конце будет периодичность Ботта с чем-то вроде доказательства. Меня прямо с него вштырило, потому и пишу.

О бар-конструкции (вернее о том, как ее надо понимать).

Допустим у нас есть моноид M, то есть множество, элементы которого можно умножать, умножение ассоциативно: (ab)c=a(bc), и обладает единицей e: a1=1a=a. До кучи пусть моноид будет топологическим, то есть представляет из себя топологическое пространство, с непрерывным умножением.

Рассмотрим отрезок [0;1] и накидаем туда произвольное конечное число точек (частиц). Каждую частицу снабдим зарядом, принимающим значение в моноиде M. Таким образом у нас есть конечный набор {(t1,g1),...,(tn,gn)}, где ti — координата i-й частицы, а gi — ее заряд. Рассмотрим конфигурационное пространство: разрешим частицам непрерывно летать по отрезку, а также непрерывно менять свой заряд. А также потребуем следующую естественную штуку: когда две частицы слипаются, они превращаются в одну частицу, заряд которой равен произведению зарядов исходных. При этом произведение берется именно в том порядке, в котором столкнулись частицы, что важно, т.к. моноид может не быть коммутативным. Будем также для удобства считать, что все прочие точки отрезка имеют заряды, равные единице моноида (либо, эквивалентно, что точку с зарядом 1 можно просто выкидывать из рассмотрения). Обозначим конфигурационное пространство таких наборов частиц через K.

Получается очень красивая штука: например, если сталкиваются две частицы, имеющие противоположные заряды, они обе аннигилируют, что, в общем, физически осмысленно. Вероятно, подобрав правильный моноид, можно каким-то образом понимать диаграммы Фейнмана как пути в K. Но сейчас не о том.

Поставим в левый конец отрезка ловушку: скажем, что если частица попала в точку 0, то ее заряд автоматически обнуляется. Пространство конфигураций частиц с ловушкой в нуле обозначим K_0. Теперь поставим дополнительную ловушку в правый конец. Пространство конфигураций с ловушками в нуле и единице обозначим K_01.

Так вот пространство K_01 и называется топологической бар-конструкцией моноида M, хотя я не видел ни одной книги, где она бы подобным образом объяснялась (я эту прикольную штуку будучи студентом узнал от Гайфуллина на спецкурсе). Бар-конструкция дает явную модель для классифицирующего пространства моноида, что тоже легко объясняется, по крайней мере для групп.

Классифицирующее пространства группы G — это по определению пространство орбит свободного правого действия группы G на стягиваемом пространстве. Известно, что все такие пространства BG гомотопны друг к другу, так что определение корректно.

Теперь заметим три вещи. (1) K_0 стягиваемо. Действительно, можно равномерно стянуть отрезок в 0. Всякая заряженная фигня, которая на нем сидит, очевидно, тоже уползает в 0, где успешно дохнет в ловушке. А значит мы получили явное стягивание K_0 в точку. (2) Группа G свободно действует на K_0 справа. Мы просто подкручиваем заряд правого конца отрезка. (3) Пространство орбит — это в точности K_01. Очевидно, т.к. наше действие просто забывает заряд правой точки, что эквивалентно установке ловушки в 1. Таким образом, K_01 = BG.

(Немного покрутившись, можно доказать, что бар-конструкция вот в точности совпадает с конструкцией Милнора для BG через бесконечный джойн).

(Пример. Если моноид - группа из двух элементов Z/2={+,-}, то бар-конструкция K_01 — это в точности RP, бесконечномерное вещественное проективное пространство. Каждая конфигурация представляет из себя конечный набор отрицательно заряженных точек на отрезке, причем эти точки могут либо аннигилировать друг с другом, либо упячиться на концах отрезка. Всевозможные n-точечные наборы ((t1,-),...,(tn,-)) представляют из себя n-симплекс, а приклейка границы этого симплекса к симплексам меньшей размерности — отображение степени 2, ровно как в стандартной клеточной структуре на RP).

Для произвольных моноидов рассуждение выше не очень-то верно. Однако классифицирующее пространство моноида - это по определению геометрическая реализация нерва категории с одним объектом, соответствующей моноиду M. Несложно проверить, что это все та же бар-конструкция. Поэтому я буду по прежнему обозначать бар-конструкцию M через BM, тут фактической ошибки нет.

Петли

Пусть Х - пространство с отмеченной точкой, а ΩX — пространство петель на Х, т.е. пространство отображений из окружности S^1 в Х, переводящее отмеченную точку в отмеченную. В ΩX тоже есть отмеченная точка — постоянная петля. Заметим, что если мы нашли расслоение, у которого база — Х, а тотальное пространство стягиваемо, то слоем автоматически будет ΩX (с точностью до гомотопии). Отсюда, в частности, следует, что ΩBG гомотопно G для любой группы G (ровно потому что G — это слой расслоения с базой BG и стягиваемым тотальным пространством). Поэтому классифицирующее пространство группы можно понимать как "распетливание" группы (процедура дает пространство, петли на котором - это исходное G).

Для произвольных моноидов M это неверно. Однако при некоторых технических условиях на М имеется теорема о групповом пополнении, которая утверждает, что ΩBM гомотопно групповому пополнению моноида М (моноид можно канонически превратить в группу, добавив формально обратные элементы). На самом деле, там некая более хитрая штука, которую я не до конца осознаю, честно говоря.

Теперь про периодичность Ботта - один из крутейших фундаментальных фактов.

Рассмотрим группы U(n) унитарных матриц размера nxn. Имеем вложенную цепочку: U(1) c U(2) c U(3) c .... Каждая вкладывается как левый верхний блок в матрицу большего размера. Обозначим объединение всех этих групп через U — это группа всех бесконечных вправо и вниз унитарных матриц, у которых лишь конечный блок может быть нетривиальным, а вне него — единицы на диагонали и нули на всех прочих местах. Будем называть такие матрицы финитными. Иными словами, U — это группа всех унитарных операторов на C^∞, которые тождественны на подпространстве конечной коразмерности.

Периодичность Ботта: ΩΩU = U

(под равенством тут и далее понимается гомотопическая эквивалентность)

Типа доказательство. Стандартный факт: классифицирующее пространство BU(n) унитарной группы U(n) — это грассманиан Gr(n), то есть множество всех n-мерных комплексных подпространств в C^∞ (финитных, т.е. сидящих в каком-то конечном координатном подпространстве C^m). Пусть Gr — дизъюнктное объединение всех грассманианов Gr(n).

Имеется процедура склеивания из двух унитарных матриц одной блочной. Она задает гомоморфизм групп

U(n)xU(m)-->U(n+m)

Этот гомоморфизм индуцирует отображение BU(n)хBU(m)-->BU(n+m). Иными словами, превращает Gr в моноид. Групповое пополнение этого моноида — это пространство BUxZ, где Z — это целые числа. Непосредственно это осознать трудно, но можно заметить, что Gr классифицирует моноид векторных расслоений на любом пространстве X, а BUxZ классифицирует К-теорию на Х, которая есть групповое пополнение моноида векторных расслоений (операция — сумма Уитни, как раз индуцируется из введенной операции на Gr).

Вернемся к конфигурационным пространствам. Накидаем на отрезок [0,1] частиц: каждая частица заряжена финитной плоскостью в C^∞. Наложим также условие, чтобы все эти плоскости были попарно ортогональны. Зададим коллизии как раньше: скажем, что если две плоскости сталкиваются, то они объединяются в одну, равную прямой сумме исходных. Если частица попала в левый или правый конец отрезка, то ее заряд (т.е. плоскость) обнуляется. Обзовем полученное конфигурационное пространство Y.

Более-менее понятно, что Y — это бар-конструкция BGr от моноида Gr.

С другой стороны, легко показать, что Y гомеоморфно U. Действительно, каждой конфигурации точек на отрезке, заряженных плоскостями, т.е. ((t1,V1),...,(tn,Vn)) можно сопоставить финитный унитарный оператор, имеющий собственные подпространства Vk с собственными значениями exp(2\pi i tk), где k=1,..,n. И наоборот, каждый финитный унитарный оператор, согласно спектральной теореме, имеет конечный набор попарно ортогональных финитных собственных подпространств с нетривиальными собственными значениями, лежащими на единичной окружности, а значит определяет конфигурацию из Y.

Итого, U=Y=BGr. По теореме о групповом пополнении имеем ΩU=ΩBGr=групповое пополнение Gr=BU x Z. Вешая петли еще раз, получаем ΩΩU=Ω(BU x Z)=Ω(BU)=U, чего и хотелось.

Если совсем короток: BU - это грассманиан. Однако, если заставить толпу грассманианов летать по отрезку, то получается снова U, просто по спектральной теореме. Отсюда и периодичность. Красиво же!

Вообще, тут много всякой замятой лажи, но она отлаживается по статье Bruno Harris Bott Periodicity via Simplicial Spaces.