В кои-то веки у меня появилось время, чтобы почитать чего-нибудь математическое. И я тут же случайно наткнулся на очень странный факт - хотя он скорее для ценителей.
Можно смотреть на конечный симплициальный комплекс как на нормальное такое континуальное топологическое пространство, что обычно все и делают. А можно смотреть на него как на комбинаторную структуру, т.е. конечное частично упорядоченное множество симплексов.
Чум задает конечное топологическое пространство - т.н. пространство Александрова. В нем точки - это элементы чума (симплексы в нашем случае), а топология состоит из верхних порядковых идеалов (совокупности элементов, которые вместе с любым элементом содержат также и все большие его). Это такое стремное нехаусдорфово топологическое пространство.
Так вот оказывается, что всю базовую алгебраическую топологию (сингулярные гомологии, гомотопические группы) можно без особых терминологических изменений применить к пространствам Александрова. Вместо вполне ожидаемой чепухи получаются довольно красивые вещи. Например, отображение из симплициального комплекса в его пространство Александрова, которое просто схлопывает каждый открытый симплекс в точку - это не хрен собачий, а слабая гомотопическая эквивалентность.
Короче прикольно, что бывает конечное множество, "похожее" по всем показателям на n-мерную сферу.
Все сие давно известно и шарится по работе McCord Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces
Комментариев нет:
Отправить комментарий