Есть волшебный класс формул, которые позволяют считать разные хитрые интегралы (вроде Хариш-Чандры-Ицыксона-Зюбера, помянутого ниже) - формулы локализации. Интересно, что их можно приспособить для решения вполне прикладной задачи: вычисление точного значения объема многогранника/интеграла от произвольной аналитической функции по многограннику. Это в каком-то роде фольклор: команда из 5 американцев это опубликовала в 2012 году, однако в давних работах Хованского и Ко это в неявном виде содержится, а скорее всего было кому-то известно и до.
Пусть P - многогранник размерности n, у которого в каждой вершине x сходится ровно n ребер. Такие многогранники называются простыми. Куб - простой. Октаэдр - не простой. Любой многоугольник - простой.
Для вершины x рассмотрим векторы v_{x1},...,v_{xn}, направленные вдоль выходящих из x ребер и имеющие определитель 1. Тогда объем многогранника равен
Volume(P) = (1/n!) сумма по всем вершинам x выражений (x^n/v_{x1}...v_{xn})
Каждое слагаемое - это дробь, в числителе которой многочлен степени n, и в знаменателе многочлен степени n. Волшебство состоит в том, что все эти рац. функции при суммировании схлопываются в число, и это число и есть объем.
Пример вычисления на картинке. Многоугольник взят целочисленным, чтобы можно было заценить правильность ответа по формуле Пика.
Опечатка: в третьем слагаемом должно быть (-a-b)b в знаменателе.
Можно похожим волшебным образом посчитать центр масс однородного многогранника. Известно, что центр масс = (интеграл по P от xdx)/Volume(P). Так вот
Интеграл по P от xdx = (1/(n+1)!) Cумма по вершинам x выражений (x^{n+1}/v_{x1}...v_{xn})
Тут суммируются рац.функции формальной степени 1, и утверждается, что в результате получится нечто без знаменателя - т.е. многочлен степени 1, то есть вектор из V - объемлющего пространства многогранника. Как и положено.
Пример на другой картинке.
Тут тоже опечатка: в третьем слагаемом должно быть (-a-b)b в знаменателе.
Для невыпуклых эти формулы тоже работают, только надо в невыпуклых точках правильно ставить знаки +/- при суммировании.
Такая фигня - пример принципа локализации. Идея в том, что во многих ситуациях вычисление интеграла сводится к локализации этого интеграла в некоторых точках (в нашем случае вершинах многогранника). В комплане, когда вычисление интеграла по контуру сводится к сумме вычетов - это тоже пример локализации. В физике есть метод аппроксимации стационарной фазой - это тоже имеет некое отношение к сабжу. Наконец, есть формула локализации Атьи-Ботта для интегралов от эквивариантных форм + теорема Дюистермаата-Хекмана (описывающая преобразование Фурье от симплектической меры на многообразии с гамильтоновым действием). И есть суперсимметрическая локализация, которую я плохо понимаю, но вроде бы, она работает так же. Вот.
UPD. Со знаками налажал. Там, кажется, в обеих формулах должно быть еще (-1)^n.
Комментариев нет:
Отправить комментарий