Я хз как правильно переводить scissors congruence на русский, но для многогранников используется слово равносоставленность. Эта идея кажется офигенно важной, интересной и старой.
Идея, собственно, такова: допустим у нас есть объекты определенного вида, которые можно разбивать на кусочки (которые суть тоже объекты того же вида), и, допустим, определены допустимые обратимые преобразования объектов. Тогда два объекта А,Б называются равносоставленными, если А можно разбить на кусочки, каждый из кусочков преобразовать допустимым образом, и собрать из полученных кусочков объект Б.
Классика: объекты - это многоугольники, разбивание: разрезание многоугольника на конечное число многоугольничков поменьше, а допустимое преобразование - движение кусочка на плоскости. Таким образом, два многоугольника равносоставленны, если один можно разрезать на кусочки, как-то переложить эти кусочки, и собрать из них второй многоугольник. Очевидно, что равносоставленные многоугольники имеют равные площади. Именно это используется на школьной геометрии, когда выводят формулы для площади треугольника, параллелограмма, описанного многоугольника и т.д.: все доказательства основаны на разрезании и перекладывании.
Теорема Бойяи-Гервина утверждает, что верно и обратное: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то они равносоставленны. Поэтому равносоставленность многоугольников на плоскости не очень интересна.
3-я проблема Гильберта (имхо, самая понятная из всех его проблем) спрашивает, верен ли аналогичный факт в трехмерном пространстве. Если два многогранника имеют одинаковые объемы, верно ли, что один из другого получается перекладыванием кусочков? У вопроса есть исторический подтекст: известно, что древние греки (Евдокс и Архимед таки) посчитали объемы всяких неочевидных штук, типа пирамиды, конуса и шара, но для этого им пришлось изобрести зачатки матана. Чтобы посчитать объем пирамиды, надо просуммировать бесконечно много бесконечно малых кусочков - срезов пирамиды, то есть взять интеграл. Вопрос Гильберта был в том, смогли бы древние греки вычислить объем пирамиды без матана: т.е. смогли бы они разрезанием и перекладыванием получить из пирамидки кирпич (прямоугольный параллелипипед), объем которого уже и ежу понятен.
Теорема Дена дает отрицательный ответ на вопрос Гильберта. Правильный тетраэдр не равносоставлен кирпичу, даже если их объемы совпадают. Я считаю как теорему, так и доказательство одними из самых клевых математических штук - именно такие вещи надо рассказывать школьникам, чтобы продемонстрировать красоту математики. Оказывается, помимо объема у многогранников есть еще одна характеристика - псевдообъемы, или "инвариант Дена", - которая неизменна при разрезании-перекладывании-собирании-кусочков. У кирпича инвариант Дена равен 0, а у тетраэдра не равен, откуда и получается теорема.
А вот уже более поздняя теорема Сидлера (1965) говорит, что если у двух многогранников совпадают объемы и инварианты Дена, то они равносоставлены. Ее доказательство тоже однозначно ня - там возникают модули кэлеровых дифференциалов, и прочая бешенная гомологическая алгебра и К-теория. Именно такие вещи надо рассказывать студентам математических факультетов, чтобы продемонстрировать красоту математики (хотя им, наверное, поздно - уже попались).
В качестве технического шага в теореме Сидлера возникает еще один тип равносоставленности: когда можно разрезать многогранник на кусочки, но кусочки разрешено двигать только параллельными сдвигами. Такой тип равносоставленности проще изучать - тут всем заправляет объем и инвариант Хадвигера.
Можно еще рассматривать плоские фигуры, разбивать их на подфигуры, но разрешить каждый кусочек не просто двигать, но еще и гомотетировать. Получается довольно забавное отношение равносоставленности: например, круг равносоставлен квадрату - см.рисунок (заскринен из абсолютно великолепной книги Игоря Пака Lectures on discrete and polyhedral geometry, которую всем читать).
Разных других объектов, которые можно разбивать на куски, перекладывать и собирать обратно, можно придумать чертову уйму. Из важных: можно вместо многогранников брать алгебраические многообразия - в этом случае классы равносоставленности называются мотивами. Насколько мне хватает скудных познаний в этой области, профит в том, что многие разнородные классические инварианты многообразий являются инвариантами мотивов. Сюда относятся и топологические (эйлерова характеристика), и комплексные (многочлены Ходжа-Делиня, что есть в гладко-проективном случае просто числа Ходжа), и теоретико-числовые (число точек многообразия над конечным полем). Ну а мотивы как бы позволяют все это изучать одновременно, что круто.
Например, если обозначить через L - мотив аффинной прямой, а Pn - мотив n-мерного проективного пространства, то имеем нехитрое мотивное равенство
Pn = 1+L+L^2+...+L^n
(поскольку можно из проективного пространства вырезать аффинный кусок L^n, и останется проективное пространство на 1 меньшей размерности, ну а дальше по индукции). Теперь, если в выражение справа подставить вместо L формальную переменную t, то получится производящая функция для диагональных чисел Ходжа (они же в данном случае числа Бетти) комплексного проективного пространства. В частности, подставляя вместо L единицу, получим эйлерову характеристику. А если вместо L подставить простое число p, то получится количество точек проективного пространства над конечным полем F_p. Ну и всякое такое.
Вместо проективного пространства можно взять гладкое проективное торическое многообразие X. Тогда получится симпатичная мотивная формула
[X]=h_0+h_1L+h_2L^2+...+h_nL^n,
где {h_i} - h-числа соответствующего X простого многогранника.
Короче с многообразиями можно творить то же, что и с многогранниками в некотором смысле, только теория получается побогаче. А вот описание полного семейства инвариантов мотивов - это уже совсем злая задача, в отличие от многогранников.
Комментариев нет:
Отправить комментарий