Занятный факт, который, вроде как, общеизвестный, но мне до недавнего времени не известный. Я проникся, короче. В России особенно популяризован Арнольдом (Арнольд, впрочем, утверждает, что Рохлин утверждает, что этот факт был известен еще Понтрягину в 30х годах).
Теорема: CP^2/conj = S^4 (фактор комплексной проективной плоскости по комплексному сопряжению гомеоморфен 4-мерной сфере). Иными словами, множество комплексно сопряженных пар прямых в C^3 является сферой.
Доказательство не менее красивое, чем само утверждение, - его вполне можно рассказывать на первом курсе мехмата. Рассмотрим все вещественные квадратичные формы от трех переменных. Они образуют 6-мерное векторное пространство. Рассмотрим все неотрицательно определенные квадратичные формы. Они образуют строго выпуклый 6-мерный конус в этом пространстве. Граница этого конуса, очевидно, состоит из неотрицательно определенных квадратичных форм, у которых есть ядро. Заметим, что каждая такая форма после линейной замены координат имеет вид либо 0, либо x^2, либо x^2+y^2=(x+iy)(x-iy), в зависимости от размерности ядра. Ноль нам не интересен - это просто вершина конуса. Возвращаясь к исходным координатам, получаем, что ненулевая форма, лежащая на границе конуса, имеет вид
(ax+by+cz)^2
или
(ax+by+cz)^2+(dx+ey+fz)^2=[(a+di)x+(b+ei)y+(c+fi)z]*[(a-di)x+(b-ei)y+(c-fi)z]
В первом случае соответствующая квадрика - двойная вещественная прямая (что есть частный случай комплексно сопряженной пары прямых), во втором - пара комплексно сопряженных различных прямых в C^3. Таким образом, пространство пар комплексно сопряженных прямых в C^3 отождествляется с пространством лучей, лежащих на границе конуса неотрицательно определенных форм. Ну а, ясное дело, что лучи, образующие границу выпуклого 6-мерного конуса, образуют четырехмерную сферу.
Дальше больше. Если взять конус неотрицательно определенных квадратичных форм в произвольном R^n, то его граничные лучи по-прежнему образуют сферу. С другой стороны, каждую такую квадратичную форму можно рассматривать как симметричную матрицу с неотрицательными собственными числами. Сопоставив матрице флаг ее собственных подпространств, и нормированный набор собственных значений, можно в одну строчку вывести теорему Васильева о том, что когерентный джойн грассманианов - это сфера. Подробности восстанавливаются по статье Шапиро "Обобщение теоремы Кёйпера-Масси".
У меня есть смутное ощущение, что всё это связано с бесконечными грассманианами, летающими по отрезку, возникающими при доказательстве периодичности Ботта (таксебемысль 12). Выглядит, во всяком случае, похоже.
А еще у Арнольда есть обобщение, согласно которому фактор кватернионной проективной плоскости по окружности - это семимерная сфера. Вот оно-то мне и интересно.
Комментариев нет:
Отправить комментарий