Мне тут недавно рассказали клёвый факт (который, видимо, стыдно было не знать, но я не знал): квадрика в CPn-1 - это просто грассманиан G+(2,n) ориентированных 2-плоскостей в Rn.
Доказательство: выберем положительный ортонормированный базис {u,v} в 2-плоскости П и сопоставим ему вектор z=u+iv из Cn. Тогда сумма квадратов координат z равна нулю, а неоднозначность в выборе базиса отвечает домножению на комплексное число, т.е. в CPn-1 все корректно.
Примеры:
(1) В случае n=4, получается, что G+(2,4) диффеоморфен произведению двух 2-сфер, поскольку квадрика в CP3 это еще и вложение Сегре.
(2) А в случае n=6, получается, что G+(2,6) диффеоморфен комплексному грассманиану GC(2,4), поскольку последний тоже является квадрикой в CP5, заданной единственным соотношением Плюккера.
Заметим, что на G+(2,n) есть свободная инволюция, меняющая ориентацию. Фактор этой инволюции - это неориентированный вещественный грассманиан G(2,n), очевидно.
Из первого примера получается, что G(2,4) двулистно накрывается произведением двух сфер.
Во втором примере можно заметить, что инволюция, меняющая ориентацию на G+(2,6) соответствует инволюции на GC(2,4), которая сопоставляет 2-плоскости в C4 ее ортогонал (хорошее упражнение, для которого, наверное, потребуется унитарная версия вотэтойзадачи 23 если оно вообще верно). Значит вещественный грассманиан G(2,6) совпадает с GC(2,4)/σ, "пространством пар ортогональных 2-подпространств в C4".
А еще у GC(2,4)/σ можно посчитать рациональные когомологии, и они окажутся такими же как у HP2. И ГКМ-графы для действия тора на том и другом совпадают. Короче, если забить на кручение, то все эти штуки еще и похожи на кватернионную плоскость.
Комментариев нет:
Отправить комментарий