Об описанных окружностях, узлах-трилистниках, эллиптических кривых и пространстве модулей (о теореме Ботта).
Я когда-то думал эту мысль, а потом оказалось, что она уже была подумана весьма геометрично тут.
Теорема Ботта утверждает, что
exp_3(S^1)=S^3
пространство всех не-более-чем-3-х-элементных подмножеств на окружности гомеоморфно трехмерной сфере. Иными словами конфигурационное пространство троек точек на окружности, в котором точки могут слипаться (без образования кратности), есть трехмерная сфера.
Это не очевидно, но и не то чтобы очень сложно, если это доказывать элементарно-топологически. Факт, однако, оброс дополнительными подробностями.
Во-первых, если вращать тройку точек на окружности как единое целое, то получим замкнутую кривую в нашем конфигурационном пространстве S^3. Эта кривая - узел-трилистник, за исключением конфигурации из двух диметрально противоположных точек, и конфигурации из трех точек, лежащих в вершинах правильного треугольника. В этих исключительных случаях соответствующие кривые в S^3 незаузлены. Таким образом, S^3 оказывается расслоена на двупараметрическое семейство трилистников, вырождающееся в двух местах. (Понимая, что трилистник - это торический узел, и зная, как устроено расслоение Хопфа, можно догадаться, как топологически устроено это слоение 3-сферы на трилистники)
Во-вторых, интересно посмотреть на пространство, параметризующее это семейство трилистников. Можно рассматривать все эти кривые как орбиты действия S^1 на S^3, которое прокручивает тройку точек как единое целое. Пространство орбит этого действия - это двумерная сфера с двумя коническими особенностями. Особенности - это как раз исключительные конфигурации: пары противоположных точек дают особенность с группой изотропии Z/2 (поскольку каждая такая пара переходит в себя при полуобороте), а тройки точек в вершинах правильного треугольника дают особенность с группой изотропии Z/3 (поскольку такие треугольнички переходят в себя при треть-обороте).
В этой сфере искушенный человек узнает пространство модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой, или, что почти то же самое, пространство комплексных структур на торе, или, что почти то же самое, пространство решеток на плоскости, с точностью до поворотов и гомотетий. Кажется, что это неспроста. И это неспроста.
Каждой решетке на плоскости (с точностью до гомотетии) можно сопоставить тройку точек на окружности следующим образом. Рассмотрим для данной решетки триангуляцию Делоне. Для любого треугольника из этой триангуляции рассмотрим прямые, идущие из центра описанной окружности в вершины треугольника. Такая тройка прямых будет одна и та же для всех треугольников триангуляции Делоне (заметим, что все треугольники либо совпадают с данным, либо ему зеркальны). Эта тройка прямых задает тройку элементов RP^1=S^1 - то, что нужно. Наоборот, по тройке прямых можно однозначно восстановить пару зеркальных треугольников, а значит и триангуляцию Делоне, и решетку - упражнение.
В случае, когда решетка прямоугольная, пары зеркальных треугольников Делоне слипаются в один прямоугольник: он определяет пару прямых, идущих из его центра в уголки, т.е. пару точек на окружности (видно, что слипание прямых, идущих из центра описанной окружности в вершины происходит, когда центр описанной окружности оказывается на одной из сторон треугольника, что выполнено в точности для прямоугольных треугольников). Одноэлементные подмножества окружности получаются из вырожденных решеток.
Пространство решеток на плоскости с точностью до гомотетий оказывается трехмерной сферой. Просто потому, что каждая такая решетка задает комплексный тор, т.е. эллиптическую кривую. Запишем эллиптическую кривую в нормальной форме Вейерштрасса. Нормированная пара коэффициентов этой формы дает точку на трехмерной сфере.
Прокручивание тройки точек на окружности соответствует повороту решетки. При таком повороте коэффициенты эллиптической кривой умножаются один на t^2, другой на t^3. Отсюдова и слоение сферы на трилистники. И вообще, используя всё это, можно для тройки точек на окружности явно записать ее координаты в S^3.
Красота.
Комментариев нет:
Отправить комментарий